Giới thiệu

Hãy tưởng tượng bạn đang cố gắng sắp xếp một nhóm gồm 36 sĩ quan—mỗi người mang một tổ hợp duy nhất giữa cấp bậc và trung đoàn—vào một ô vuông 6x6, sao cho không hàng nào hay cột nào có hai sĩ quan cùng cấp bậc hoặc cùng trung đoàn. Nghe như một câu đố hại não? Đúng vậy. Đây chính là bài toán nổi tiếng 36 sĩ quan của Euler, một câu đố kinh điển từ thế kỷ 18 đã làm say mê các nhà toán học suốt hàng trăm năm. Bản thân Euler nghi ngờ rằng bài toán này không có lời giải, và phải đến thế kỷ 20, linh cảm của ông mới được chứng minh một cách chính thức: không thể có một cách sắp xếp như vậy nếu tuân theo các quy tắc cổ điển. Nhưng chuyện gì sẽ xảy ra nếu ta mang các quy luật kỳ lạ của vật lý lượng tử vào cuộc? 

Lời giải cổ điển

Nói một cách đơn giản, một ô vuông Latin (the Latin square) là một lưới các ô được điền bằng các ký hiệu (như số hoặc chữ cái) sao cho mỗi ký hiệu xuất hiện đúng một lần trong mỗi hàng và mỗi cột. Hãy tưởng tượng như trò Sudoku, nhưng không có các ô vuông 3x3 nhỏ. Hai ô vuông Latin được gọi là trực giao nếu, khi bạn xếp chồng chúng lên nhau, mọi cặp ký hiệu có thứ tự (từ cùng một ô) đều xuất hiện đúng một lần duy nhất. Bài toán 36 sĩ quan của Euler tương đương với việc hỏi liệu có tồn tại hai ô vuông Latin trực giao bậc 6 hay không—và câu trả lời là không.

Hãy tưởng tượng bài toán được đơn giản hoá thành 16 sĩ quan, tức là chúng ta sẽ xét một ô vuông 4x4. Một các thú vị để tưởng tượng đó là sử dụng các quân người của bộ bài tây: J, Q, K, A với bốn chất bài. Một trong số các lời giải như sau:

Nhận xét: (1) Mỗi hàng và mỗi cột đều chứa đủ bốn giá trị A, K, Q, J (không lặp lại); và (2) Mỗi hàng và mỗi cột đều chứa đủ bốn chất ♠, ♣, ♦, ♥ (không lặp lại). Đây chính là đặc trưng của hai bảng Latin vuông trực giao:

1. Một bảng cho giá trị (A, K, Q, J),
2. Một bảng cho chất (♠, ♣, ♦, ♥),
3. Và khi kết hợp chúng, mỗi cặp (giá trị, chất) chỉ xuất hiện đúng một lần.

Ví dụ này rất gần với bài toán "36 sĩ quan" của Euler nhưng ở cấp nhỏ hơn (4×4 thay vì 6×6). Nó giúp minh hoạ khái niệm hai bảng Latin vuông trực giao theo cách trực quan và dễ hiểu. Trong bối cảnh lượng tử, việc thay các giá trị và chất bằng trạng thái lượng tử có thể mở ra những cấu trúc mã hóa và truyền thông mới.

Câu hỏi mở của tính toán và thông tin lượng tử

Trong báo cáo khoa học được đăng tại tạp chí PRX Quantum, nhóm tác giả trình bài năm câu hỏi mở của tính toán lượng tử và thông tin lượng tử. Tuy nhiên, bài toán thứ sáu, ẩn trong phần phụ lục, được phát biểu như sau:

Hãy xác định liệu có tồn tại một cặp ô vuông Latin lượng tử trực giao bậc sáu hay không. Nói cách khác, hãy tìm một lời giải cho bài toán 36 “sĩ quan vướng víu lượng tử” của Euler — hoặc chứng minh rằng lời giải đó không tồn tại.

Trong thế giới lượng tử, mọi thứ trở nên kỳ lạ: một hạt có thể ở nhiều trạng thái cùng lúc, và hai hạt có thể vướng víu (entangled) với nhau, ảnh hưởng đến nhau dù cách xa hàng nghìn km.

Và giờ, các nhà khoa học đang tự hỏi:

Nếu thay những sĩ quan "cổ điển" bằng các sĩ quan lượng tử — những người có thể ở nhiều trạng thái cùng lúc — thì liệu có thể tạo ra một cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện?

 Câu hỏi này tương đương với việc tìm xem có tồn tại một cặp ô vuông Latin lượng tử trực giao bậc sáu hay không. Bài toán tưởng chừng như viễn tưởng này lại là lý thuyết bản lề cho việc cách mạng hoá các phương pháp mã hoá dữ liệu chống sự tấn công của máy tính lượng tử, tối ưu hoá trên máy tính lượng tử và các thuật toán cho các bài toán không giải được trên nền tảng máy tính đương đại.

Phân tích câu hỏi mở

Bài toán này bắt đầu bằng cách xem xét một tập hợp các trạng thái lượng tử (có thể hình dung như các quân bài lượng tử), mỗi trạng thái đại diện cho một cặp lượng tử từ hai hệ thống. Tập hợp này có tất cả N×N phần tử, tức là sắp xếp thành một bảng vuông N hàng N cột. Mỗi trạng thái trong bảng này có tính chất đặc biệt: chúng không trùng lặp và hoàn toàn phân biệt với nhau, giống như việc bạn có một bộ bài mà mỗi lá bài là hoàn toàn khác biệt, không thể bị nhầm với lá khác.

Nếu các trạng thái này còn thỏa mãn thêm một số điều kiện về cách chúng kết hợp lại trong từng hàng và từng cột – tức là có một loại “cân bằng” hoặc “đồng nhất” nhất định – thì chúng tạo thành một thứ gọi là ô vuông Latin lượng tử trực giao (Orthogonal Quantum Latin Square – OQLS). Bạn có thể hình dung đây là phiên bản lượng tử của một bảng sudoku, nhưng thay vì điền số, bạn điền vào các trạng thái lượng tử phức tạp.

Bài toán này là phiên bản lượng tử của bài toán 36 sĩ quan do Euler đặt ra cách đây hàng trăm năm. Trong bài toán gốc, bạn được giao nhiệm vụ xếp 36 sĩ quan (6 cấp bậc khác nhau từ 6 trung đoàn khác nhau) vào một bảng 6×6 sao cho mỗi hàng và cột có đủ 6 cấp bậc và 6 trung đoàn – không trùng nhau. Euler đã chứng minh rằng không có cách xếp nào làm được điều này nếu chỉ dùng quy tắc cổ điển.

Tuy nhiên, nếu thay vì các sĩ quan "cổ điển", ta cho phép họ ở trong các trạng thái lượng tử vướng víu (entangled quantum states) – tức là không hoàn toàn độc lập mà có liên hệ lượng tử đặc biệt với nhau – thì câu hỏi được đặt ra là: Liệu có thể tạo ra một cách sắp xếp hợp lệ không? Câu hỏi này được gọi là Bài toán 6 trong lý thuyết lượng tử. Nếu có thể xây dựng được một cặp ô vuông Latin lượng tử trực giao với kích thước 6×6, thì điều đó tương đương với việc chứng minh một trong ba điều sau:

• Có tồn tại một trạng thái lượng tử siêu vướng giữa 4 hệ thống khác nhau, mỗi hệ có 6 mức năng lượng – loại trạng thái này rất quý trong việc truyền và bảo vệ thông tin lượng tử.
• Có một ma trận đặc biệt gọi là ma trận “hai đơn vị” (2-unitary), có tính đối xứng và tương tác mạnh mẽ, hoạt động trên không gian gồm 36 trạng thái cơ bản.
• Có một tensor hoàn hảo, là một cấu trúc toán học lượng tử mô tả sự vướng víu tuyệt đối giữa bốn hệ, mỗi hệ có thể ở 6 trạng thái – loại tensor này rất hữu ích trong xây dựng mạng lượng tử hoặc mô hình lượng tử cho bài toán tối ưu.

Vậy tại sao chúng ta quan tâm tới bài toán này?

Ứng dụng trong tài chính định lượng

Hãy tưởng tượng bạn đang đầu tư vào một danh mục gồm 3 tài sản khác nhau. Bạn phân bổ vốn đầu tư vào ba tài sản này theo một tỷ lệ cụ thể – ví dụ, bạn đầu tư 50% vào tài sản thứ nhất, 30% vào tài sản thứ hai, và 20% vào tài sản thứ ba.

Bây giờ, bạn muốn biết: Liệu danh mục đầu tư này có thực sự đa dạng (diversified) hay không? Một cách để đo lường điều này là xem xét mức độ phụ thuộc (liên quan) giữa các tài sản. Nếu các tài sản không phụ thuộc nhiều vào nhau, tức là khi một tài sản biến động thì những tài sản còn lại không nhất thiết phải biến động theo – thì danh mục của bạn được xem là đa dạng tốt. Ngược lại, nếu các tài sản có xu hướng tăng giảm cùng nhau, tức là có mức độ tương quan cao, thì danh mục của bạn sẽ không thật sự được “trải đều rủi ro” như bạn nghĩ.

Trong ví dụ này, chúng ta có sẵn một bảng thể hiện mức độ tương quan giữa từng cặp tài sản. Các con số trong bảng này nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

• 0 nghĩa là hoàn toàn không liên quan,
• 1 nghĩa là hoàn toàn đi cùng nhau.
  Ví dụ, tài sản 1 và 2 có mức tương quan là 0.7, tức là khá cao – chúng có xu hướng cùng tăng hoặc cùng giảm.

Sau khi tính toán dựa trên mức đầu tư bạn dành cho từng tài sản và mức độ tương quan giữa chúng, ta thu được một giá trị phản ánh mức độ thiếu trực giao (thiếu sự độc lập) trong danh mục. Trong trường hợp này, kết quả là 0.762.

Giá trị này càng lớn, thì danh mục của bạn càng kém đa dạng – tức là các tài sản trong danh mục đang "đi cùng nhau" quá nhiều. Ngược lại, nếu kết quả này gần bằng 0, điều đó có nghĩa là danh mục đầu tư của bạn chứa các tài sản rất độc lập với nhau, giúp bạn giảm thiểu rủi ro hiệu quả hơn. Vậy sự trực giao là một giá trị đáng quan tâm khi đánh giá các hạng mục đầu tư.

Một chút thú vị về bài toán 36 sĩ quan

Euler biết tới bài toán 36 sĩ quan vào những năm 1770s và ông cho rằng không tồn tại lời giải của bài toán này. Lập luận này được kiểm định bởi Thomas Clausen vào ngày đầu thu tháng 8 năm 1842, tuy nhiên ông không công bố kết quả này. Phỏng đoán của Euler trở thành một đề tài được quan tâm hồi đó.  Khoảng 200 năm sau, J.  Petersen (1902), P. Wernicke (1910) và MacNeish (1922) đưa ra chứng mình cho phỏng đoán của Euler. Tuy nhiên, lập luận của cả ba người đều có lỗ hổng lớn trong lý thuyết. Tới những năm 1950s, khi máy tính đã phổ quát, các thực nghiệm số đã đươc thực hiện: lần thực nghiệm số trên 10x10 latin square trong năm 1957 của Paige và Tompkins mấy 4.8x10¹¹ tiếng! Vậy bài học rút ra là gì:

Khi bạn đang ở rìa của khoa học, tức là bạn đang đi trên danh giới của sự tiến bộ nhằm tạo nên sự đột phá, lỗi sai có thể xảy ra. Vậy nên đừng sợ sai mà không làm, quan trọng là học được gì sau những sai lầm đó, và bước tiếp, lầm lì mà thật kiên trì...

Trong bài blog sau, chúng ta sẽ xem hiện tượng chồng chập lượng tử là gì nhé!

FIX-X

Khoa Công Nghệ Thông Tin, Trường Công Nghệ, Đại Học Kinh Tế Quốc Dân khởi động Chương trình FIT-X, nhằm tìm kiếm các tài năng trẻ có đam mê nghiên cứu khoa học, tham gia dự án thực tế và xây dựng sản phẩm. Đừng quên đăng ký nhé!